Закрыть ... [X]



  • Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах, кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости. Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур.

    Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства:
    нуля src="http://mathprofi.ru/d/uravnenie_ploskosti_clip_image002.jpg" alt="Плоскость в пространстве">
    Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол.

    Обозначения: плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве. Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно.

    В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, .

    Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например,  и т.д. Нередко буквы заключают в круглые скобки: , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической фигурой.

    Не будем томиться долгими ожиданиями:


    Общее уравнение плоскости

    Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты  одновременно не равны нулю.

    Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат.

    А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки.

    В самом общем случае, когда числа  не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так:

      Расположение плоскости в прямоугольной системе координат

    Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть.

    Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей:

    Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю.

    Аналогично:
     – уравнение координатной плоскости ;
     – уравнение координатной плоскости .

    Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость  (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость  параллельна плоскости  и проходит через точку .

    Аналогично:
     – уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ;
     – уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости .

    Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости  некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение  определяет плоскость, параллельную координатной оси

    Аналогично:
     – уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ;
     – уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси .

    Если свободные члены  нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости  прямую  и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось .

    Завершаем обзор: уравнение плоскости  проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка  удовлетворяет данному уравнению.

    И, наконец, случай, который изображён на чертеже:  – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов.

    Как грамотно построить перечисленные виды плоскостей на клетчатой бумаге – смотрите в справочных материалах о пространственных поверхностях.

    Линейные неравенства в пространстве

    Для понимания информации необходимо хорошо изучить линейные неравенства на плоскости, поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко.

    Если уравнение  задаёт плоскость, то неравенства
     задают полупространства. Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость.

    Как и для линейных неравенств плоскости, справедлив аналогичный принцип: если одна точка полупространства удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данного полупространства удовлетворяют данному неравенству.

    Читайте примеры и посматривайте на чертёж:

    1) . Как понимать данное неравенство? «Икс» и «зет» могут быть любыми, а вот «игрек» всегда больше либо равно нулю. Данное неравенство определяет правое полупространство; так как оно нестрогое, то координатная плоскость  входит в решение.

    2)  – «игрек» и «зет» могут быть любыми, а вот «икс» строго меньше нуля. Неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, и ввиду его строгости, координатная плоскость  не входит в решение.

    3)  Сначала мысленно начертим плоскость  – данная плоскость параллельна «родной» координатной плоскости  и расположена на высоте  (на 2 единицы выше плоскости ). При любых «икс» и «игрек» – «зет» меньше либо равно двум. Поэтому неравенство определяет нижнее полупространство + саму плоскость .

    4) Дана плоскость . Я специально подобрал плоскость, которая «высекает» треугольник в первом октанте (такой, как на чертеже). Требуется строгим неравенством задать полупространство, которое содержит начало координат.

    Составим вспомогательный многочлен  и вычислим его значение в начале координат: , таким образом, искомое неравенство: .

    Проведённый обзор полезен не только в аналитической геометрии, но и для решения ряда задач математического анализа.


    Как составить уравнение плоскости?

    Конструировать уравнение плоскости будем с помощью векторов и точек. Их должно быть как можно меньше, но достаточно, чтобы однозначно определить плоскость. Одним словом, красивая математическая лаконичность. Математика – царица наук, не стерва, но строгА. А уж насколько доступна, во многом зависит от вашего к ней отношения =)

    Казалось бы, плоскость можно определить с помощью двух неколлинеарных векторов. Но векторы свободны и бродят по всему пространству, поэтому ещё нужна фиксированная точка.

    Как составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам?

    Рассмотрим точку  и два неколлинеарных вектора . Уравнение плоскости, которая проходит через точку  параллельно векторам , выражается формулой:

    ! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости.

    Принципиально ситуация выглядит так:
    Как составить уравнение плоскости по двум векторам и точке?
    Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость (векторы будут свободно «вертеться» вокруг точки).

    Пример 1

    Составить уравнение плоскости по точке  и векторам .

    Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

    Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу:

    Раскрываем определители второго порядка:

    На первом месте у нас находится знак «минус». Хорошим тоном считается убрать наглеца, в этих целях меняем знак у каждого слагаемого. Проводим дальнейшие упрощения и получаем уравнение плоскости:

    Сократить здесь ничего нельзя, поэтому:

    Ответ:

    …числа, конечно, страшноваты получились для первого примера =) …но переделывать, пожалуй, не буду, на практике большие числа – вещь распространённая.

    Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но я обязательно выполню её чуть позже.

    Пример 2

    Составить уравнение плоскости по точке  и двум неколлинеарным векторам .

    Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

    Иногда может потребоваться решить обратную задачу – по известному уравнению плоскости найти параллельные ей векторы. Кстати, сколько параллельных векторов существует у плоскости? Бесконечно много. Однако нельзя объять необъятное, поэтому «вытащим» из уравнения плоскости три таких вектора:

    Пусть плоскость задана общим уравнением . Тогда векторы  будут параллельны данной плоскости (а, значит, компланарны), и какие-либо два из них – линейно независимы. Так, в Примере №1 мы составили уравнение плоскости . Построенной плоскости будут параллельны следующие векторы: . Если честно, не припомню, чтобы приходилось этим пользоваться, тем не менее, справка не лишняя.

    Два неколлинеарных вектора и точка – это «жёсткая» конструкция, однозначно определяющая плоскость. Но существует более очевидный способ, о котором упоминалось выше, и он громким стуком в дверь уже давно просится на урок. Три точки. Дёшево и сердито.

    Как составить уравнение плоскости по трём точкам?

    Любые ли три точки пространства задают плоскость? Нет. Во-первых, точки должны быть различными. А во-вторых, они не должны лежать на одной прямой (сразу все три).

    Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

    На самом деле это разновидность предыдущего способа, смотрим на картинку:
    Как составить уравнение плоскости по трём точкам?
    Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости:

    То есть, наша формула фактически совпадает с формулой предыдущего параграфа. Многие уже заметили явную аналогию с материалами статьи Уравнение прямой на плоскости. Закономерности будут сохраняться и дальше!

    Чтобы не умереть от скуки, предлагаю раскрутить примеры-шарады:

    Пример 3

    Составить уравнение плоскости по точкам .

    Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:

    Вот теперь и аналитически видно, что всё дело свелось к координатам двух векторов. Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

    Больше ничего упростить нельзя, записываем:

    Ответ:

    Проверка напрашивается сама собой – в полученное уравнение плоскости необходимо подставить координаты каждой точки. Если хотя бы одна из трёх точек «не подойдёт», ищите ошибку.

    Для «мёртвого» зачёта всегда выполняйте проверку мысленно или на черновике!!!

    Пример 4

    Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  и начало координат.

    Это пример для самостоятельного решения. Ещё раз присмотримся к формуле . В каждом столбце определителя встречаются координаты точки , и это можно с выгодой использовать. В предложенной задаче даны три точки: , начало координат. В качестве точки  можно выбрать любую из трёх точек. Подумайте, как рациональнее оформить решение! Да, и постарайтесь, не пропускать это задание, в самом конце решения увидите важный технический нюанс ;-)

    Вектор нормали плоскости (нормальный вектор)

    Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов. Но для решения задач нам будет хватать и одного.
    Вектор нормали плоскости
    Если плоскость задана общим уравнением , то вектор   является вектором нормали данной плоскости. Просто до безобразия. Всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости.

    Обещанного три экрана ждут, вернёмся к Примеру №1 и выполним его проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке  и двум векторам . В результате решения мы получили уравнение . Проверяем:

    Во-первых, подставим координаты точки  в полученное уравнение:

    Получено верное равенство, значит, точка  действительно лежит в данной плоскости.

    Во-вторых, из уравнения плоскости снимаем вектор нормали: . Поскольку векторы  параллельны плоскости, а вектор  перпендикулярен плоскости, то должны иметь место следующие факты: . Перпендикулярность векторов легко проверить с помощью скалярного произведения:

    Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

    В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор  параллелен плоскости  в том и только том случае, когда .

    Решим важную задачу, которая имеет отношение и к уроку Скалярное произведение векторов

    Пример 5

    Найти единичный нормальный вектор плоскости .

    Решение: Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через . Совершенно понятно, что векторы  коллинеарны:
    Единичный нормальный вектор плоскости

    Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: .

    Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор , нужно каждую координату вектора  разделить на длину вектора .

    Перепишем вектор нормали в виде  и найдём его длину:

    Согласно вышесказанному:

    Ответ:

    Проверка: , что и требовалось проверить.

    Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока Скалярное произведение векторов, наверное, заметили, что координаты единичного вектора  – это в точности направляющие косинусы вектора :
     

    Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор, и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе.

    Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа.

    С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос:

    Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?

    Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке.

    Уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно вектору  , выражается формулой:


    Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
    Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. В некоторых задачах аналитической геометрии уравнение плоскости можно составить несколькими способами, и решение через точку и нормальный вектор – самое оптимальное.

    Пример 6

    Составить уравнение плоскости по точке  и вектору нормали .

    Решение: Используем формулу:

    Ответ:

    Проверка выполняется очень легко:

    1) Из полученного уравнения  снимаем вектор нормали:  – всё хорошо, полученный вектор совпал с вектором из условия (в ряде случаев может получиться коллинеарный вектор).

    2) Подставим координаты точки  в уравнение плоскости:

    Верное равенство, значит, точка  принадлежит данной плоскости.

    Вывод: уравнение плоскости найдено правильно.

    Пример настолько прозрачен, что хочется немного завуалировать условие:

    Пример 7

    Найти уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно оси .

    Это пример для самостоятельного решения. Просто, но со вкусом.

    Перейдём к более содержательным примерам. Типовая задача:

    Как построить плоскость, параллельную данной?

    Пример 8

    Построить плоскость, проходящую через точку  параллельно плоскости .

    Решение: Обозначим известную плоскость через . По условию требуется найти плоскость , которая параллельна плоскости  и проходит через точку .

    Выполним схематический чертёж, который поможет быстрее разобраться в условии и понять алгоритм решения:
    Как построить плоскость параллельную данной?
    У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали. Добавить нечего =) Осталось оформить мат в два хода:

    1) Из уравнения  найдём вектор нормали плоскости: .

    2) Уравнение плоскости  составим по точке  и вектору нормали :

    Ответ:

    Как выполнить проверку, я уже рассказал.

    Продолжаем раскидывать стог сена пространственной геометрии:

    Как найти расстояние от точки до плоскости?

    Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки  к данной плоскости:
    Расстояние от точки до плоскости

    Формула очень похожа на формулу «плоской» геометрии расстояния от точки до прямой (см. Пример №8 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости).

    Расстояние от точки  до плоскости  выражается формулой

    При необходимости можно найти и точку , но для этого необходимо разобраться с уравнениями прямой в пространстве и посетить урок Основные задачи на прямую и плоскость.

    Пример 9

    Найти расстояние от точки  до плоскости

    Решение: анализировать тут нечего, главное, не допустить ошибку в вычислениях:

    Ответ:

    Такое даже для самостоятельного решения неловко предлагать.

    Заключительный раздел урока будет посвящен взаимному расположению плоскостей. Мы уже немного поговорили о параллельных плоскостях, и сейчас продолжим тему:


    Взаимное расположение плоскостей

    Для практики наиболее важна информация о взаимном расположении двух плоскостей, но и о трёх плоскостях также будет краткая справка.

    Рассмотрим две плоскости пространства, заданные общими уравнениями:

    Они могут:

    1) совпадать;

    2) быть параллельными: ;

    3) пересекаться по некоторой прямой «эль»: .

    Всё очень и очень похоже на взаимное расположение прямых на плоскости (урок Простейшие задачи с прямой на плоскости).

    Совпадающие плоскости

    Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства

    Рассмотрим плоскости  и составим систему:

    Из каждого уравнения системы следует, что . Таким образом, система совместна и плоскости  совпадают.

    Параллельные плоскости

    Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  пропорциональны: , но .

    На практике очень часто первые три коэффициента банально совпадают (). Посмотрим, например, на уравнения параллельных плоскостей из Примера №8:

    Комментарии, думаю, излишни, всё прекрасно видно. Но на всякий случай выполню формальную проверку, вдруг кому потребуется. Составим систему:

    Из первых трёх уравнений следует, что , а из четвёртого уравнения следует, что , значит, система несовместна. Но коэффициенты при переменных   пропорциональны, следовательно, плоскости параллельны.

    Задача о нахождении параллельной плоскости уже была, поэтому решим что-нибудь новое:

    Как найти расстояние между плоскостями?

    Расстояние между двумя параллельными плоскостями  выражается формулой:


    Расстояние между плоскостями
    Координаты точек  нам неизвестны, да их и не нужно знать, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно протянуть в любом месте.

    Найдём расстояние между параллельными плоскостями Примера №8:

    Пример 10

    Найти расстояние между параллельными плоскостями .

    Решение: Используем формулу:

    Ответ:
    У многих наверняка возник вопрос: вот у этих плоскостей  – первые три коэффициенты одинаковы, но это же не всегда так! Да, не всегда.

    Пример 11

    Найти расстояние между параллельными плоскостями

    Проверим пропорциональность коэффициентов: , но , значит, плоскости действительно параллельны. Первые три коэффициента пропорциональны, но не совпадают. Однако формула-то  предусмотрена для совпадающих коэффициентов!

    Есть два пути решения:

    1) Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Например, рассмотрим плоскость . Чтобы найти точку, проще всего обнулить две координаты. Обнулим «икс» и «зет», тогда: .

    Таким образом, точка  принадлежит данной плоскости. Теперь можно использовать формулу расстояния от точки до плоскости , рассмотренную в предыдущем разделе.

    2) Второй способ связан с небольшим трюком, который нужно применить, чтобы таки использовать формулу ! Это пример для самостоятельного решения.

    Пересекающиеся плоскости

    Третий, самый распространённый случай, когда две плоскости пересекаются по некоторой прямой :
    Пересекающиеся плоскости
    Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных  НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства

    Сразу отмечу важный факт: Если плоскости  пересекаются, то система линейных уравнений  задаёт прямую в пространстве. Но о ней позже.

    В качестве примера рассмотрим плоскости . Составим систему для соответствующих коэффициентов:

    Из первых двух уравнений следует, что , но из третьего уравнения следует, что , значит, система несовместна, и плоскости пересекаются.

    Проверку можно выполнить «по пижонски» одной строкой:

    Параллельные плоскости мы уже разобрали, теперь поговорим о перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, а для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, необходимо знать две точки:

    Пример 12

    Дана плоскость . Построить плоскость , перпендикулярную данной и проходящую через точки .

    Решение: Начинаем анализировать условие. Что мы знаем о плоскости ? Известны две точки. Можно найти вектор , параллельный данной плоскости. Но этого мало, нужен ещё один. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то вторым вектором следует взять нормальный вектор плоскости .

    Проводить подобные рассуждения здОрово помогает схематический чертёж:
    Как построить плоскость перпендикулярную данной?
    Для лучшего понимания задачи отложите вектор нормали  от точки  в плоскости .

    Кстати, теперь чётко видно, почему одна точка не определит перпендикулярную плоскость – вокруг единственной точки будет «вращаться» бесконечно много перпендикулярных плоскостей. Так же нас не устроит и единственный вектор (без всяких точек). Вектор является свободным и «наштампует» нам бесконечно много перпендикулярных плоскостей (которые, к слову, будут параллельны между собой). В этой связи минимальную жёсткую конструкцию обеспечивают две точки.

    Задача разобрана, решаем:

    1) Найдём вектор .

    2) Из уравнения  снимем вектор нормали: .

    3) Уравнение плоскости  составим по точке  (можно было взять и ) и двум неколлинеарным векторам :

    Ответ:

    Проверка состоит из двух этапов:

    1) Проверяем, действительно ли плоскости будут перпендикулярны. Если две плоскости перпендикулярны, то их векторы нормали будут ортогональны. Логично. Из полученного уравнения  снимаем вектор нормали  и рассчитываем скалярное произведение векторов:

    Таким образом,

    2) В уравнение плоскости  подставляем координаты точек . Обе точки должны «подойти».

    И первый, и второй пункт можно выполнить устно.

    Перейдём к заключительной задаче урока:

    Как найти угол между плоскостями?

    Две пересекающиеся плоскости  образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов называют углом между плоскостями.

    Обозначим угол между плоскостями через :
    Угол между плоскостями
    Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтому угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов:

    Распишем формулу в коэффициентах:

    Обратите внимание, что формула может дать и тупой угол, например, 150 градусов. Такой ответ не будет страшной ошибкой, но за угол между плоскостями, как правило, принимают острый угол, поэтому концовку задания лучше дополнить расчётом «традиционного» угла: 180 – 150 =30 градусов.

    Задачка поинтереснее:

    Пример 13

    Найти угол между плоскостями

    Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

    Что-то не хочется мне вас сегодня отпускать… наверное, хорошо себя вели и активно работали на уроке =) Придётся рассказать что-нибудь ещё.

    Взаимное расположение трёх плоскостей

    Три плоскости могут располагаться в пространстве 8 способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню.

    Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз.

    Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений , которая имеет единственное решение.

    Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера… – в углу вашей комнаты!

    На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве.

    Спасибо за работу, домашнего задания не будет!

    Решения и ответы:

    Пример 2: Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам:

    Ответ:

    Пример 4: Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам :

    Ответ:

    Пример 7: Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси , то вектор  является вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точке  и вектору нормали :

    Ответ:

    Пример 11: Решение: Разделим все коэффициенты второго уравнения на два:

    Используем формулу

    Ответ:

    Пример 13: Решение: Обозначим . Используем формулу:

    За угол между плоскостями примем острый угол:
    Ответ:

    Автор: Емелин Александр


     Блог Емелина Александра

    Высшая математика для заочников и не только >>>

    (Переход на главную страницу)


    Источник: http://mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html


    Поделись с друзьями



    Рекомендуем посмотреть ещё:



    Узел ввода и ВРУ для дачных домов: разбираемся с заземлением Мастер класс по изготовлению бантиков канзаши

    Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля Как нарисовать картинку с нуля

    ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ